MathJax example

\textbf{1.} а) Решите уравнение $\dfrac{\sin x}{\cos^2 \dfrac{x}{2}} = 4\sin^2 \dfrac{x}{2}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; \, -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.\\ \textbf{Решение.} а) Область допустимых значений переменной $x$ задается условием \[ \cos \dfrac{x}{2} \neq 0 \iff \dfrac{x}{2} \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \iff x \neq \pi + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}. \] Умножая обе части уравнения на $\cos^2\dfrac{x}{2} \neq 0$, получим: \begin{gather*} \sin x = 4\sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \dfrac{x}{2} \iff \sin x = \left( 2\sin \frac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}\right)^2 \iff \sin x = \sin^2 x \iff \\[3pt] \iff \sin x \cdot (\sin x - 1) = 0 \iff \left[ \begin{aligned} & \sin x = 0 \\ & \sin x = 1 \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} & x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \\ & x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} \end{aligned} \right.. \end{gather*} С учетом ОДЗ, корнями уравнения являются серии \[ x = 2\pi n, \, x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, \, n, \, k \in \mathbb{Z}. \]